解決4x-5y=-14text{and}7x+y=-5 |Microsoft數學求解器

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-5y=-14$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$4x=5y-14$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 5y-14。

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 7x+y=-5 中以 \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

7 乘上 \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}。

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

將 \frac{35y}{4} 加到 y。

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

將 \frac{49}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{39}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

\frac{5}{4} 乘上 2。

$$x=\frac{5-7}{2}$$

將 -\frac{7}{2} 與 \frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

讓 4x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

化簡。

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x-35y=-98 減去 28x+4y=-20。

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-35y-4y=-98+20$$

將 -35y 加到 -4y。

$$-39y=-98+20$$

將 -98 加到 20。

$$-39y=-78$$

將兩邊同時除以 -39。

$$y=2$$

在 7x+y=-5 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+2=-5$$

從方程式兩邊減去 2。

$$7x=-7$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=2$$