解決4x^4=(10-x)^2 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 4 } = ( 10 - x ) ^ { 2 }$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{1+\sqrt{79}i}{4}\approx 0.25+2.222048604i$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}i+1}{4}\approx 0.25-2.222048604i$$

$$x=2$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(10-x\right)^{2}。

$$4x^{4}=100-20x+x^{2}$$

從兩邊減去 100。

$$4x^{4}-100=-20x+x^{2}$$

新增 20x 至兩側。

$$4x^{4}-100+20x=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$4x^{4}-100+20x-x^{2}=0$$

重新排列方程式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$4x^{4}-x^{2}+20x-100=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -100，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±25,±50,±100,±\frac{25}{2},±\frac{25}{4},±5,±10,±20,±\frac{5}{2},±\frac{5}{4},±1,±2,±4,±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=2$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{4}-x^{2}+20x-100 除以 x-2 以得到 4x^{3}+8x^{2}+15x+50。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{3}+8x^{2}+15x+50=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 50，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{25}{2},±25,±50,±\frac{25}{4},±\frac{5}{2},±5,±10,±\frac{5}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-\frac{5}{2}$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{3}+8x^{2}+15x+50 除以 2\left(x+\frac{5}{2}\right)=2x+5 以得到 2x^{2}-x+10。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$2x^{2}-x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 2 取代 a、以 -1 取代 b 並以 10 取 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

計算。

$$x=\frac{1±\sqrt{-79}}{4}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 2x^{2}-x+10=0。

$$x=\frac{-\sqrt{79}i+1}{4} x=\frac{1+\sqrt{79}i}{4}$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=2 x=-\frac{5}{2} x=\frac{-\sqrt{79}i+1}{4} x=\frac{1+\sqrt{79}i}{4}$$

解 x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(10-x\right)^{2}。

$$4x^{4}=100-20x+x^{2}$$

從兩邊減去 100。

$$4x^{4}-100=-20x+x^{2}$$

新增 20x 至兩側。

$$4x^{4}-100+20x=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$4x^{4}-100+20x-x^{2}=0$$

重新排列方程式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$4x^{4}-x^{2}+20x-100=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -100，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±25,±50,±100,±\frac{25}{2},±\frac{25}{4},±5,±10,±20,±\frac{5}{2},±\frac{5}{4},±1,±2,±4,±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=2$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{4}-x^{2}+20x-100 除以 x-2 以得到 4x^{3}+8x^{2}+15x+50。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{3}+8x^{2}+15x+50=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 50，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{25}{2},±25,±50,±\frac{25}{4},±\frac{5}{2},±5,±10,±\frac{5}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-\frac{5}{2}$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{3}+8x^{2}+15x+50 除以 2\left(x+\frac{5}{2}\right)=2x+5 以得到 2x^{2}-x+10。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$2x^{2}-x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 2 取代 a、以 -1 取代 b 並以 10 取 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

計算。

$$x=\frac{1±\sqrt{-79}}{4}$$

由於實數欄位中未定義負數的平方根，因此無法解題。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$