解決4x^2-7x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}-7x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -7 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

對 -7 平方。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

將 49 加到 16。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

-7 的相反數是 7。

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}。 將 7 加到 \sqrt{65}。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}。 從 7 減去 \sqrt{65}。

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}-7x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$4x^{2}-7x=1$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

將 -\frac{7}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{8}。接著，將 -\frac{7}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{49}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

因數分解 x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

將 \frac{7}{8} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$