解決4x^2-12x-27=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-27。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -108 的所有此類整數組合。

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

計算每個組合的總和。

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

該解的總和為 -12。

$$a=-18 b=6$$

將 4x^{2}-12x-27 重寫為 \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)。

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 3。

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-9。

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-9=0 並 2x+3=0。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -12 代入 b，以及將 -27 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

對 -12 平方。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -27。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

將 144 加到 432。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

取 576 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 的相反數是 12。

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{12±24}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{12±24}{8}。 將 12 加到 24。

$$x=\frac{36}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{36}{8} 約分至最低項。

$$x=\frac{9}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{12±24}{8}。 從 12 減去 24。

$$x=-\frac{12}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-12}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

從 -27 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

從 0 減去 -27。

$$4x^{2}-12x=27$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 除以 4。

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

將 \frac{27}{4} 與 \frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

因數分解 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$