Solve 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}-11x+30=16$$

從方程式兩邊減去 16。

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

從 16 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

從 30 減去 16。

$$4x^{2}-11x+14=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -11 代入 b，以及將 14 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

對 -11 平方。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16 乘上 14。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

將 121 加到 -224。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

取 -103 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 的相反數是 11。

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}。 將 11 加到 i\sqrt{103}。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}。 從 11 減去 i\sqrt{103}。

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}-11x+30=16$$

從方程式兩邊減去 30。

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

從 30 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-11x=16-30$$

從 16 減去 30。

$$4x^{2}-11x=-14$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-14}{4} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

將 -\frac{11}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{8}。接著，將 -\frac{11}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

-\frac{11}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

將 -\frac{7}{2} 與 \frac{121}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

因數分解 x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

化簡。

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

將 \frac{11}{8} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$