解決4x^2+6x+10=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0.75+1.391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0.75-1.391941091i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+6x+10=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 6 代入 b，以及將 10 代入 c。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

對 6 平方。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

-16 乘上 10。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

將 36 加到 -160。

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

取 -124 的平方根。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}。 將 -6 加到 2i\sqrt{31}。

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

-6+2i\sqrt{31} 除以 8。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}。 從 -6 減去 2i\sqrt{31}。

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

-6-2i\sqrt{31} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+6x+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

從 10 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+6x=-10$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{6}{4} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{4} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

將 \frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{4}。接著，將 \frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

將 -\frac{5}{2} 與 \frac{9}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$