解決4x^2+48x-81=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-81。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -324 的所有此類整數組合。

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

計算每個組合的總和。

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

該解為總和為 48 的組合。

$$a=-6 b=54$$

將 4x^{2}+48x-81 重寫為 \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

對第一個與第二個群組中的 27 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2x-3=0 和 2x+27=0。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 48 代入 b，以及將 -81 代入 c。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

對 48 平方。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -81。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

將 2304 加到 1296。

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

取 3600 的平方根。

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-48±60}{8}。 將 -48 加到 60。

$$x=\frac{12}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{12}{8} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-48±60}{8}。 從 -48 減去 60。

$$x=-\frac{108}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-108}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{27}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

將 81 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

從 -81 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

從 0 減去 -81。

$$4x^{2}+48x=81$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 除以 4。

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

將 12 (x 項的係數) 除以 2 可得到 6。接著，將 6 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

對 6 平方。

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

將 \frac{81}{4} 加到 36。

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

因數分解 x^{2}+12x+36。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

化簡。

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

從方程式兩邊減去 6。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$