解決4x^2+4x+9=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+4x+9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 4 代入 b，以及將 9 代入 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

對 4 平方。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 乘上 9。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

將 16 加到 -144。

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

取 -128 的平方根。

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}。 將 -4 加到 8i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} 除以 8。

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}。 從 -4 減去 8i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} 除以 8。

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+4x+9=0$$

從方程式兩邊減去 9。

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

從 9 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+4x=-9$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

將 -\frac{9}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

因數分解 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$