解決4x^2+4x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx+1。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 列出乘積為 4 的所有此類整數組合。

$$1,4 2,2$$

計算每個組合的總和。

$$1+4=5 2+2=4$$

該解為總和為 4 的組合。

$$a=2 b=2$$

將 4x^{2}+4x+1 重寫為 \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)。

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

因式分解 4x^{2}+2x 中的 2x。

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

使用分配律來因式分解常用項 2x+1。

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

改寫為二項式平方。

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

若要求方程式的解，請解出 2x+1=0。

$$x=-\frac{1}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+4x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 4 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

對 4 平方。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

將 16 加到 -16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=-\frac{4}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+4x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+4x=-1$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

將 -\frac{1}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

因數分解 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

現已成功解出方程式。 解法是相同的。

$$x=-\frac{1}{2}$$