解決4x^2+21x+20=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 21 x + 20 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$x=-4$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx+20。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=21 ab=4\times 20=80$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 80 的所有此類整數組合。

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

計算每個組合的總和。

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

該解的總和為 21。

$$a=5 b=16$$

將 4x^{2}+21x+20 重寫為 \left(4x^{2}+5x\right)+\left(16x+20\right)。

$$\left(4x^{2}+5x\right)+\left(16x+20\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 4。

$$x\left(4x+5\right)+4\left(4x+5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x+5。

$$\left(4x+5\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x+5=0 並 x+4=0。

$$x=-\frac{5}{4} x=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+21x+20=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 21 代入 b，以及將 20 代入 c。

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

對 21 平方。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-16\times 20}}{2\times 4}$$

-16 乘上 20。

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-320}}{2\times 4}$$

將 441 加到 -320。

$$x=\frac{-21±\sqrt{121}}{2\times 4}$$

取 121 的平方根。

$$x=\frac{-21±11}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-21±11}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-21±11}{8}。 將 -21 加到 11。

$$x=-\frac{10}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-21±11}{8}。 從 -21 減去 11。

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32 除以 8。

$$x=-4$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{5}{4} x=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+21x+20=0$$

從方程式兩邊減去 20。

$$4x^{2}+21x+20-20=-20$$

從 20 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+21x=-20$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+21x}{4}=-\frac{20}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{21}{4}x=-\frac{20}{4}$$

-20 除以 4。

$$x^{2}+\frac{21}{4}x=-5$$

將 \frac{21}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{21}{8}。接著，將 \frac{21}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=-5+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}$$

\frac{21}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=-5+\frac{441}{64}$$

將 -5 加到 \frac{441}{64}。

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{121}{64}$$

因數分解 x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

化簡。

$$x+\frac{21}{8}=\frac{11}{8} x+\frac{21}{8}=-\frac{11}{8}$$

從方程式兩邊減去 \frac{21}{8}。

$$x=-\frac{5}{4} x=-4$$