解決4x^2+11x-20=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

解 x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-20。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -80 的所有此類整數組合。

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

計算每個組合的總和。

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

該解的總和為 11。

$$a=-5 b=16$$

將 4x^{2}+11x-20 重寫為 \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)。

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 4。

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-5。

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-5=0 並 x+4=0。

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+11x-20=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 11 代入 b，以及將 -20 代入 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

對 11 平方。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -20。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

將 121 加到 320。

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-11±21}{8}。 將 -11 加到 21。

$$x=\frac{10}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{10}{8} 約分至最低項。

$$x=\frac{5}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-11±21}{8}。 從 -11 減去 21。

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32 除以 8。

$$x=-4$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+11x-20=0$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

從 -20 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

從 0 減去 -20。

$$4x^{2}+11x=20$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

20 除以 4。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

將 \frac{11}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{11}{8}。接著，將 \frac{11}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

\frac{11}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

將 5 加到 \frac{121}{64}。

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

因數分解 x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

化簡。

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{8}。

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$