解決4n^2-7n=11 |Microsoft數學求解器

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

解 n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 11。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4n^{2}+an+bn-11。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -44 的所有此類整數組合。

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

計算每個組合的總和。

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

該解為總和為 -7 的組合。

$$a=-11 b=4$$

將 4n^{2}-7n-11 重寫為 \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)。

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

因式分解 4n^{2}-11n 中的 n。

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

使用分配律來因式分解常用項 4n-11。

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 4n-11=0 和 n+1=0。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4n^{2}-7n=11$$

從方程式兩邊減去 11。

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

從 11 減去本身會剩下 0。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -7 代入 b，以及將 -11 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

對 -7 平方。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -11。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

將 49 加到 176。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

取 225 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 的相反數是 7。

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$n=\frac{7±15}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{7±15}{8}。 將 7 加到 15。

$$n=\frac{22}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{22}{8} 約分至最低項。

$$n=\frac{11}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{7±15}{8}。 從 7 減去 15。

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 除以 8。

$$n=-1$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4n^{2}-7n=11$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

將 -\frac{7}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{8}。接著，將 -\frac{7}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

將 \frac{11}{4} 與 \frac{49}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

因數分解 n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

化簡。

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

將 \frac{7}{8} 加到方程式的兩邊。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$