解決4n^2+34n-140=0 |Microsoft數學求解器

$$4 n ^ { 2 } + 34 n - 140 = 0$$

解 n

$$n = \frac{\sqrt{849} - 17}{4} \approx 3.034401142$$

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}\approx -11.534401142$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4n^{2}+34n-140=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 34 代入 b，以及將 -140 代入 c。

$$n=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

對 34 平方。

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-16\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -140。

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156+2240}}{2\times 4}$$

將 1156 加到 2240。

$$n=\frac{-34±\sqrt{3396}}{2\times 4}$$

取 3396 的平方根。

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}。 將 -34 加到 2\sqrt{849}。

$$n=\frac{2\sqrt{849}-34}{8}$$

-34+2\sqrt{849} 除以 8。

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}。 從 -34 減去 2\sqrt{849}。

$$n=\frac{-2\sqrt{849}-34}{8}$$

-34-2\sqrt{849} 除以 8。

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4n^{2}+34n-140=0$$

將 140 加到方程式的兩邊。

$$4n^{2}+34n-140-\left(-140\right)=-\left(-140\right)$$

從 -140 減去本身會剩下 0。

$$4n^{2}+34n=-\left(-140\right)$$

從 0 減去 -140。

$$4n^{2}+34n=140$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4n^{2}+34n}{4}=\frac{140}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{34}{4}n=\frac{140}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{34}{4} 約分至最低項。

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=\frac{140}{4}$$

140 除以 4。

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=35$$

將 \frac{17}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{17}{4}。接著，將 \frac{17}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=35+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

\frac{17}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=35+\frac{289}{16}$$

將 35 加到 \frac{289}{16}。

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=\frac{849}{16}$$

因數分解 n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{849}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{849}{16}}$$

化簡。

$$n+\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{849}}{4} n+\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{849}}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{17}{4}。

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$