解決4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5 |Microsoft數學求解器

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

解 x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1.866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0.133974596$$

$$x=-1$$

解題步驟

變數 x 不能等於 -2,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 x\left(x+2\right)。

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

計算 4 乘上 x^{2}+2x 時使用乘法分配律。

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

計算 4x^{2}+8x 乘上 x 時使用乘法分配律。

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

計算 4x^{3}+8x^{2} 乘上 x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

計算 -5x 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

新增 5x^{2} 至兩側。

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

合併 16x^{2} 和 5x^{2} 以取得 21x^{2}。

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

新增 10x 至兩側。

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

重新排列方程式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 1，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-1$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 除以 x+1 以得到 4x^{3}+12x^{2}+9x+1。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 1，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-1$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 除以 x+1 以得到 4x^{2}+8x+1。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{2}+8x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 4 取代 a、以 8 取代 b 並以 1 取 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

計算。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 4x^{2}+8x+1=0。

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$