解決4(5)(x+5)+16(5)(x-5)=4(x^2-25) |Microsoft數學求解器

$$4 ( 5 ) ( x + 5 ) + 16 ( 5 ) ( x - 5 ) = 4 ( x ^ { 2 } - 25 )$$

解 x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22.807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2.192235936$$

使用二次方程式公式的步驟

完成乘法。

$$20\left(x+5\right)+80\left(x-5\right)=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 20 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$20x+100+80\left(x-5\right)=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 80 乘上 x-5 時使用乘法分配律。

$$20x+100+80x-400=4\left(x^{2}-25\right)$$

合併 20x 和 80x 以取得 100x。

$$100x+100-400=4\left(x^{2}-25\right)$$

從 100 減去 400 會得到 -300。

$$100x-300=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 4 乘上 x^{2}-25 時使用乘法分配律。

$$100x-300=4x^{2}-100$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$100x-300-4x^{2}=-100$$

新增 100 至兩側。

$$100x-300-4x^{2}+100=0$$

將 -300 與 100 相加可以得到 -200。

$$100x-200-4x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -4 代入 a，將 100 代入 b，以及將 -200 代入 c。

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

對 100 平方。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 乘上 -4。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 乘上 -200。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

將 10000 加到 -3200。

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

取 6800 的平方根。

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

2 乘上 -4。

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}。 將 -100 加到 20\sqrt{17}。

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100+20\sqrt{17} 除以 -8。

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}。 從 -100 減去 20\sqrt{17}。

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100-20\sqrt{17} 除以 -8。

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

配方法的步驟

完成乘法。

$$20\left(x+5\right)+80\left(x-5\right)=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 20 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$20x+100+80\left(x-5\right)=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 80 乘上 x-5 時使用乘法分配律。

$$20x+100+80x-400=4\left(x^{2}-25\right)$$

合併 20x 和 80x 以取得 100x。

$$100x+100-400=4\left(x^{2}-25\right)$$

從 100 減去 400 會得到 -300。

$$100x-300=4\left(x^{2}-25\right)$$

計算 4 乘上 x^{2}-25 時使用乘法分配律。

$$100x-300=4x^{2}-100$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$100x-300-4x^{2}=-100$$

新增 300 至兩側。

$$100x-4x^{2}=-100+300$$

將 -100 與 300 相加可以得到 200。

$$100x-4x^{2}=200$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-4x^{2}+100x=200$$

將兩邊同時除以 -4。

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

除以 -4 可以取消乘以 -4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

100 除以 -4。

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

200 除以 -4。

$$x^{2}-25x=-50$$

將 -25 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{25}{2}。接著，將 -\frac{25}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

-\frac{25}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

將 -50 加到 \frac{625}{4}。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

因數分解 x^{2}-25x+\frac{625}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

將 \frac{25}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$