Solve 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

因式分解

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

解題步驟

分組對運算式進行因數分解。首先，運算式必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-2。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -8 的所有此類整數組合。

$$1,-8 2,-4$$

計算每個組合的總和。

$$1-8=-7 2-4=-2$$

該解為總和為 -7 的組合。

$$a=-8 b=1$$

將 4x^{2}-7x-2 重寫為 \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)。

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

因式分解 4x^{2}-8x 中的 4x。

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

使用分配律來因式分解常用項 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

使用二次方程式公式的步驟

可以使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 這個轉換方式來因數分解二次多項式，其中 x_{1} 與 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$4x^{2}-7x-2=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

對 -7 平方。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -2。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

將 49 加到 32。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

-7 的相反數是 7。

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{7±9}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{7±9}{8}。 將 7 加到 9。

$$x=\frac{16}{8}$$

16 除以 8。

$$x=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{7±9}{8}。 從 7 減去 9。

$$x=-\frac{2}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-2}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{4}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 來因數分解原始的運算式。將 2 代入 x_{1} 並將 -\frac{1}{4} 代入 x_{2}。

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

將 p-\left(-q\right) 形式的所有運算式化簡為 p+q。

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

將 \frac{1}{4} 與 x 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

在 4 和 4 中同時消去最大公因數 4。

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

評估

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$