解決4x^2-4x-3=0 |Microsoft數學求解器

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-3。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -12 的所有此類整數組合。

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

計算每個組合的總和。

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

該解為總和為 -4 的組合。

$$a=-6 b=2$$

將 4x^{2}-4x-3 重寫為 \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

因式分解 4x^{2}-6x 中的 2x。

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2x-3=0 和 2x+1=0。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -4 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

對 -4 平方。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -3。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

將 16 加到 48。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

取 64 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

-4 的相反數是 4。

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{4±8}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{4±8}{8}。 將 4 加到 8。

$$x=\frac{12}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{12}{8} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{4±8}{8}。 從 4 減去 8。

$$x=-\frac{4}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

從 -3 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

從 0 減去 -3。

$$4x^{2}-4x=3$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

-4 除以 4。

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

將 \frac{3}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$