解決4x^2-4x-15=0 |Microsoft數學求解器

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4x^{2}+ax+bx-15。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -60 的所有此類整數組合。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

該解的總和為 -4。

$$a=-10 b=6$$

將 4x^{2}-4x-15 重寫為 \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)。

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 3。

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-5。

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-5=0 並 2x+3=0。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}-4x-15=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -4 代入 b，以及將 -15 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

對 -4 平方。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -15。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

將 16 加到 240。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

取 256 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 的相反數是 4。

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{4±16}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{4±16}{8}。 將 4 加到 16。

$$x=\frac{20}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{20}{8} 約分至最低項。

$$x=\frac{5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{4±16}{8}。 從 4 減去 16。

$$x=-\frac{12}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-12}{8} 約分至最低項。

$$x=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}-4x-15=0$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

從 -15 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

從 0 減去 -15。

$$4x^{2}-4x=15$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 除以 4。

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

將 \frac{15}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$