解決4x^2+4x=120 |Microsoft數學求解器

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

解 x

$$x=-6$$

$$x=5$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 120。

$$4x^{2}+4x-120=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$x^{2}+x-30=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-30。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -30 的所有此類整數組合。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

計算每個組合的總和。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

該解的總和為 1。

$$a=-5 b=6$$

將 x^{2}+x-30 重寫為 \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)。

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 6。

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-5=0 並 x+6=0。

$$x=5 x=-6$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+4x=120$$

從方程式兩邊減去 120。

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

從 120 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+4x-120=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 4 代入 b，以及將 -120 代入 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

對 4 平方。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -120。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

將 16 加到 1920。

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

取 1936 的平方根。

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4±44}{8}。 將 -4 加到 44。

$$x=\frac{40}{8}$$

40 除以 8。

$$x=5$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4±44}{8}。 從 -4 減去 44。

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 除以 8。

$$x=-6$$

現已成功解出方程式。

$$x=5 x=-6$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+4x=120$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 除以 4。

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 除以 4。

$$x^{2}+x=30$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

將 30 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

因數分解 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=5 x=-6$$