解決4t^2+3t=1 |Microsoft數學求解器

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

解 t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 1。

$$4t^{2}+3t-1=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4t^{2}+at+bt-1。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -4 的所有此類整數組合。

$$-1,4 -2,2$$

計算每個組合的總和。

$$-1+4=3 -2+2=0$$

該解為總和為 3 的組合。

$$a=-1 b=4$$

將 4t^{2}+3t-1 重寫為 \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)。

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

因式分解 4t^{2}-t 中的 t。

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

使用分配律來因式分解常用項 4t-1。

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 4t-1=0 和 t+1=0。

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4t^{2}+3t=1$$

從方程式兩邊減去 1。

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$4t^{2}+3t-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

對 3 平方。

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -1。

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

將 9 加到 16。

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

取 25 的平方根。

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{-3±5}{8}。 將 -3 加到 5。

$$t=\frac{2}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{8} 約分至最低項。

$$t=\frac{1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{-3±5}{8}。 從 -3 減去 5。

$$t=-\frac{8}{8}$$

-8 除以 8。

$$t=-1$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4t^{2}+3t=1$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

將 \frac{3}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{8}。接著，將 \frac{3}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

\frac{3}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{9}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

因數分解 t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

化簡。

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{8}。

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$