解決4a^2-5a+1=0 |Microsoft數學求解器

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

解 a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=1$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 4a^{2}+aa+ba+1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 4 的所有此類整數組合。

$$-1,-4 -2,-2$$

計算每個組合的總和。

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

該解的總和為 -5。

$$a=-4 b=-1$$

將 4a^{2}-5a+1 重寫為 \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)。

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

在第一個組因式分解是 4a，且第二個組是 -1。

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 a-1。

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 a-1=0 並 4a-1=0。

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4a^{2}-5a+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

對 -5 平方。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

將 25 加到 -16。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

取 9 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 的相反數是 5。

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$a=\frac{5±3}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 a=\frac{5±3}{8}。 將 5 加到 3。

$$a=\frac{8}{8}$$

8 除以 8。

$$a=1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 a=\frac{5±3}{8}。 從 5 減去 3。

$$a=\frac{2}{8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{8} 約分至最低項。

$$a=\frac{1}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4a^{2}-5a+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$4a^{2}-5a=-1$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

將 -\frac{5}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{8}。接著，將 -\frac{5}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

將 -\frac{1}{4} 與 \frac{25}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

因數分解 a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

化簡。

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

將 \frac{5}{8} 加到方程式的兩邊。

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$