Solve 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

解 x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=2,2x-y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+2。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 2x-y=3 中以 \frac{2+y}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

2 乘上 \frac{2+y}{3}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

將 \frac{2y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-5$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -5。

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 -\frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=2,2x-y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=2,2x-y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-y=2 減去 2x-y=3。

$$3x-2x-y+y=2-3$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-2x=2-3$$

將 3x 加到 -2x。

$$x=2-3$$

將 2 加到 -3。

$$x=-1$$

在 2x-y=3 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\left(-1\right)-y=3$$

2 乘上 -1。

$$-2-y=3$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-y=5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-5$$