解決3x-5y=4;9x-2y=7 |Microsoft數學求解器

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

解 x、y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=4$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y+4。

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 9x-2y=7 中以 \frac{5y+4}{3} 代入 x在方程式。

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

9 乘上 \frac{5y+4}{3}。

$$15y+12-2y=7$$

將 15y 加到 -2y。

$$13y+12=7$$

從方程式兩邊減去 12。

$$13y=-5$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=-\frac{5}{13}$$

在 x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} 中以 -\frac{5}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{5}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 與 -\frac{25}{39} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{9}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

讓 3x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

化簡。

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x-45y=36 減去 27x-6y=21。

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-45y+6y=36-21$$

將 -45y 加到 6y。

$$-39y=36-21$$

將 36 加到 -21。

$$-39y=15$$

將兩邊同時除以 -39。

$$y=-\frac{5}{13}$$

在 9x-2y=7 中以 -\frac{5}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

-2 乘上 -\frac{5}{13}。

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{13}。

$$9x=\frac{81}{13}$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{9}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$