解決3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15 |Microsoft數學求解器

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

解 x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$x=2$$

使用依分組因數分解的步驟

對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 6x 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-2\right)^{2}。

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

若要尋找 x^{2}-4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 5x^{2}。

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x 和 4x 以取得 10x。

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2x+2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

將 -2 與 30 相加可以得到 28。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

合併 5x^{2} 和 -2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+10x-4=28$$

從兩邊減去 28。

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

從 -4 減去 28 會得到 -32。

$$3x^{2}+10x-32=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-32。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -96 的所有此類整數組合。

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

計算每個組合的總和。

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

該解的總和為 10。

$$a=-6 b=16$$

將 3x^{2}+10x-32 重寫為 \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)。

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 16。

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-2=0 並 3x+16=0。

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 6x 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-2\right)^{2}。

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

若要尋找 x^{2}-4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 5x^{2}。

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x 和 4x 以取得 10x。

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2x+2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

將 -2 與 30 相加可以得到 28。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

合併 5x^{2} 和 -2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+10x-4=28$$

從兩邊減去 28。

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

從 -4 減去 28 會得到 -32。

$$3x^{2}+10x-32=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 10 代入 b，以及將 -32 代入 c。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

對 10 平方。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -32。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

將 100 加到 384。

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

取 484 的平方根。

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-10±22}{6}。 將 -10 加到 22。

$$x=\frac{12}{6}$$

12 除以 6。

$$x=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-10±22}{6}。 從 -10 減去 22。

$$x=-\frac{32}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-32}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{16}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

配方法的步驟

對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 6x 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-2\right)^{2}。

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

若要尋找 x^{2}-4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 5x^{2}。

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

合併 6x 和 4x 以取得 10x。

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

計算 2x+2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

將 -2 與 30 相加可以得到 28。

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

合併 5x^{2} 和 -2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+10x-4=28$$

新增 4 至兩側。

$$3x^{2}+10x=28+4$$

將 28 與 4 相加可以得到 32。

$$3x^{2}+10x=32$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

將 \frac{10}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{3}。接著，將 \frac{5}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

將 \frac{32}{3} 與 \frac{25}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

因數分解 x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

化簡。

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$