解決3x^2-8x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2.786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0.119632981$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-8x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -8 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

對 -8 平方。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

將 64 加到 12。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

取 76 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-8 的相反數是 8。

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}。 將 8 加到 2\sqrt{19}。

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

8+2\sqrt{19} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}。 從 8 減去 2\sqrt{19}。

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

8-2\sqrt{19} 除以 6。

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-8x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$3x^{2}-8x=1$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

將 -\frac{8}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{4}{3}。接著，將 -\frac{4}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{16}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

將 \frac{4}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$