解決3x^2-32x+84=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

解 x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx+84。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 252 的所有此類整數組合。

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

計算每個組合的總和。

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

該解的總和為 -32。

$$a=-18 b=-14$$

將 3x^{2}-32x+84 重寫為 \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 -14。

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-6=0 並 3x-14=0。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -32 代入 b，以及將 84 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

對 -32 平方。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12 乘上 84。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

將 1024 加到 -1008。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

取 16 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 的相反數是 32。

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{32±4}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{32±4}{6}。 將 32 加到 4。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 除以 6。

$$x=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{32±4}{6}。 從 32 減去 4。

$$x=\frac{28}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{28}{6} 約分至最低項。

$$x=\frac{14}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

從方程式兩邊減去 84。

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

從 84 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-32x=-84$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 除以 3。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

將 -\frac{32}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{16}{3}。接著，將 -\frac{16}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

-\frac{16}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

將 -28 加到 \frac{256}{9}。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

將 \frac{16}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$