解決3x^2-20x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6.616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0.050380733$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-20x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -20 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

對 -20 平方。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

將 400 加到 -12。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

取 388 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20 的相反數是 20。

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}。 將 20 加到 2\sqrt{97}。

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

20+2\sqrt{97} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}。 從 20 減去 2\sqrt{97}。

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

20-2\sqrt{97} 除以 6。

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-20x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-20x=-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

將 -\frac{20}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{10}{3}。接著，將 -\frac{10}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

-\frac{10}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{100}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$