解決3x^2+2x+1=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}+2x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 2 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

對 2 平方。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

將 4 加到 -12。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

取 -8 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}。 將 -2 加到 2i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2} 除以 6。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}。 從 -2 減去 2i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}+2x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}+2x=-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

將 \frac{2}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{3}。接著，將 \frac{1}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{1}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

因數分解 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$