解決3x=2+sqrt{x^2+2x} |Microsoft數學求解器

$$3 x = 2 + \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x }$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 7}{8} \approx 1.390388203$$

解題步驟

從方程式兩邊減去 2。

$$3x-2=\sqrt{x^{2}+2x}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(3x-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+2x}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(3x-2\right)^{2}。

$$9x^{2}-12x+4=\left(\sqrt{x^{2}+2x}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}+2x} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}+2x。

$$9x^{2}-12x+4=x^{2}+2x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$9x^{2}-12x+4-x^{2}=2x$$

合併 9x^{2} 和 -x^{2} 以取得 8x^{2}。

$$8x^{2}-12x+4=2x$$

從兩邊減去 2x。

$$8x^{2}-12x+4-2x=0$$

合併 -12x 和 -2x 以取得 -14x。

$$8x^{2}-14x+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 8 代入 a，將 -14 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

對 -14 平方。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

-4 乘上 8。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\times 4}}{2\times 8}$$

-32 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-128}}{2\times 8}$$

將 196 加到 -128。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{68}}{2\times 8}$$

取 68 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{17}}{2\times 8}$$

-14 的相反數是 14。

$$x=\frac{14±2\sqrt{17}}{2\times 8}$$

2 乘上 8。

$$x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16}。 將 14 加到 2\sqrt{17}。

$$x=\frac{2\sqrt{17}+14}{16}$$

14+2\sqrt{17} 除以 16。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16}。 從 14 減去 2\sqrt{17}。

$$x=\frac{14-2\sqrt{17}}{16}$$

14-2\sqrt{17} 除以 16。

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$$

在方程式 3x=2+\sqrt{x^{2}+2x} 中以 \frac{\sqrt{17}+7}{8} 代入 x。

$$3\times \frac{\sqrt{17}+7}{8}=2+\sqrt{\left(\frac{\sqrt{17}+7}{8}\right)^{2}+2\times \frac{\sqrt{17}+7}{8}}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{\sqrt{17}+7}{8}。

$$\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}+\frac{21}{8}=\frac{21}{8}+\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}$$

在方程式 3x=2+\sqrt{x^{2}+2x} 中以 \frac{7-\sqrt{17}}{8} 代入 x。

$$3\times \frac{7-\sqrt{17}}{8}=2+\sqrt{\left(\frac{7-\sqrt{17}}{8}\right)^{2}+2\times \frac{7-\sqrt{17}}{8}}$$

化簡。 x=\frac{7-\sqrt{17}}{8} 的值不符合方程式。

$$\frac{21}{8}-\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}=\frac{11}{8}+\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}$$

方程式 3x-2=\sqrt{x^{2}+2x} 有獨特的解。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8}$$