解決3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

解 x、y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$3x+9-6y=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-6y=-9$$

考慮第二個方程式。 新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-2x-2y=12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-6y=-9$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$3x=6y-9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 6y-9。

$$x=2y-3$$

在另一個方程式 -2x-2y=12 中以 2y-3 代入 x在方程式。

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

-2 乘上 2y-3。

$$-4y+6-2y=12$$

將 -4y 加到 -2y。

$$-6y+6=12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-6y=6$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-1$$

在 x=2y-3 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\left(-1\right)-3$$

2 乘上 -1。

$$x=-2-3$$

將 -3 加到 -2。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$3x+9-6y=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-6y=-9$$

考慮第二個方程式。 新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-2x-2y=12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6y。

$$3x+9-6y=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-6y=-9$$

考慮第二個方程式。 新增 12 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-2x-2y=12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

讓 3x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

化簡。

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x+12y=18 減去 -6x-6y=36。

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+6y=18-36$$

將 12y 加到 6y。

$$18y=18-36$$

將 18 加到 -36。

$$18y=-18$$

將兩邊同時除以 18。

$$y=-1$$

在 -2x-2y=12 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

-2 乘上 -1。

$$-2x+2=12$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-2x=10$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-1$$