Solve 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

解 x

$$x=-1$$

$$x=4$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 x^{2}。

$$3x+5-x^{2}=1$$

從兩邊減去 1。

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

從 5 減去 1 會得到 4。

$$3x+4-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}+3x+4=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+4。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -4 的所有此類整數組合。

$$-1,4 -2,2$$

計算每個組合的總和。

$$-1+4=3 -2+2=0$$

該解為總和為 3 的組合。

$$a=4 b=-1$$

將 -x^{2}+3x+4 重寫為 \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)。

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 -x 因式分解。

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-4。

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-4=0 和 -x-1=0。

$$x=4 x=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 x^{2}。

$$3x+5-x^{2}=1$$

從兩邊減去 1。

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

從 5 減去 1 會得到 4。

$$3x+4-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+3x+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 4。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

將 9 加到 16。

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

取 25 的平方根。

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±5}{-2}。 將 -3 加到 5。

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 除以 -2。

$$x=-1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±5}{-2}。 從 -3 減去 5。

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-8 除以 -2。

$$x=4$$

現已成功解出方程式。

$$x=-1 x=4$$

配方法的步驟

從兩邊減去 x^{2}。

$$3x+5-x^{2}=1$$

從兩邊減去 5。

$$3x-x^{2}=1-5$$

從 1 減去 5 會得到 -4。

$$3x-x^{2}=-4$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+3x=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

-4 除以 -1。

$$x^{2}-3x=4$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

將 4 加到 \frac{9}{4}。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

因數分解 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=4 x=-1$$