解決3x+2y=12,12=9x-2y |Microsoft數學求解器

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=12$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+12。

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

在另一個方程式 9x-2y=12 中以 -\frac{2y}{3}+4 代入 x在方程式。

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

9 乘上 -\frac{2y}{3}+4。

$$-6y+36-2y=12$$

將 -6y 加到 -2y。

$$-8y+36=12$$

從方程式兩邊減去 36。

$$-8y=-24$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=3$$

在 x=-\frac{2}{3}y+4 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

-\frac{2}{3} 乘上 3。

$$x=-2+4$$

將 4 加到 -2。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$9x-2y=12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

讓 3x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

化簡。

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x+18y=108 減去 27x-6y=36。

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y+6y=108-36$$

將 18y 加到 6y。

$$24y=108-36$$

將 108 加到 -36。

$$24y=72$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=3$$

在 9x-2y=12 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-2\times 3=12$$

-2 乘上 3。

$$9x-6=12$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$9x=18$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$