解決3x+10y=102,3x+1y=84 |Microsoft數學求解器

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

解 x、y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+10y=102$$

從方程式兩邊減去 10y。

$$3x=-10y+102$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -10y+102。

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

在另一個方程式 3x+y=84 中以 -\frac{10y}{3}+34 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

3 乘上 -\frac{10y}{3}+34。

$$-10y+102+y=84$$

將 -10y 加到 y。

$$-9y+102=84$$

從方程式兩邊減去 102。

$$-9y=-18$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=2$$

在 x=-\frac{10}{3}y+34 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

-\frac{10}{3} 乘上 2。

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

將 34 加到 -\frac{20}{3}。

$$x=\frac{82}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+10y=102 減去 3x+y=84。

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-y=102-84$$

將 10y 加到 -y。

$$9y=102-84$$

將 102 加到 -84。

$$9y=18$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=2$$

在 3x+y=84 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2=84$$

從方程式兩邊減去 2。

$$3x=82$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{82}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{82}{3},y=2$$