解決3q^2-19q+16=0 |Microsoft數學求解器

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

解 q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3q^{2}+aq+bq+16。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 48 的所有此類整數組合。

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

計算每個組合的總和。

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

該解為總和為 -19 的組合。

$$a=-16 b=-3$$

將 3q^{2}-19q+16 重寫為 \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)。

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 q 因式分解。

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3q-16。

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 3q-16=0 和 q-1=0。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3q^{2}-19q+16=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -19 代入 b，以及將 16 代入 c。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

對 -19 平方。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

-12 乘上 16。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

將 361 加到 -192。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

取 169 的平方根。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

-19 的相反數是 19。

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$q=\frac{19±13}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 q=\frac{19±13}{6}。 將 19 加到 13。

$$q=\frac{32}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{32}{6} 約分至最低項。

$$q=\frac{16}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 q=\frac{19±13}{6}。 從 19 減去 13。

$$q=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$q=1$$

現已成功解出方程式。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3q^{2}-19q+16=0$$

從方程式兩邊減去 16。

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

從 16 減去本身會剩下 0。

$$3q^{2}-19q=-16$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

將 -\frac{19}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{19}{6}。接著，將 -\frac{19}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

-\frac{19}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

將 -\frac{16}{3} 與 \frac{361}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

因數分解 q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化簡。

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

將 \frac{19}{6} 加到方程式的兩邊。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$