解決3n^2-4n-15=0 |Microsoft數學求解器

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

解 n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3n^{2}+an+bn-15。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -45 的所有此類整數組合。

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

計算每個組合的總和。

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

該解的總和為 -4。

$$a=-9 b=5$$

將 3n^{2}-4n-15 重寫為 \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)。

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

在第一個組因式分解是 3n，且第二個組是 5。

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 n-3。

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-3=0 並 3n+5=0。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -4 代入 b，以及將 -15 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

對 -4 平方。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -15。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

將 16 加到 180。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

取 196 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 的相反數是 4。

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$n=\frac{4±14}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{4±14}{6}。 將 4 加到 14。

$$n=\frac{18}{6}$$

18 除以 6。

$$n=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{4±14}{6}。 從 4 減去 14。

$$n=-\frac{10}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{6} 約分至最低項。

$$n=-\frac{5}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

從 -15 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

從 0 減去 -15。

$$3n^{2}-4n=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 除以 3。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

將 -\frac{4}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{2}{3}。接著，將 -\frac{2}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

將 5 加到 \frac{4}{9}。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

因數分解 n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

化簡。

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$