解決3n^2+47n-232=5 |Microsoft數學求解器

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

解 n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3n^{2}+47n-232=5$$

從方程式兩邊減去 5。

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

從 -232 減去 5。

$$3n^{2}+47n-237=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 47 代入 b，以及將 -237 代入 c。

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

對 47 平方。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -237。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

將 2209 加到 2844。

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}。 將 -47 加到 \sqrt{5053}。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}。 從 -47 減去 \sqrt{5053}。

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3n^{2}+47n-232=5$$

將 232 加到方程式的兩邊。

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

從 -232 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

從 5 減去 -232。

$$3n^{2}+47n=237$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

237 除以 3。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

將 \frac{47}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{47}{6}。接著，將 \frac{47}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

\frac{47}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

將 79 加到 \frac{2209}{36}。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

因數分解 n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

化簡。

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{47}{6}。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$