解決3n^2+10n=8 |Microsoft數學求解器

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

解 n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 8。

$$3n^{2}+10n-8=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3n^{2}+an+bn-8。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -24 的所有此類整數組合。

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

計算每個組合的總和。

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

該解的總和為 10。

$$a=-2 b=12$$

將 3n^{2}+10n-8 重寫為 \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)。

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 4。

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3n-2。

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3n-2=0 並 n+4=0。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3n^{2}+10n=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

從 8 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}+10n-8=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 10 代入 b，以及將 -8 代入 c。

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

對 10 平方。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -8。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

將 100 加到 96。

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

取 196 的平方根。

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-10±14}{6}。 將 -10 加到 14。

$$n=\frac{4}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{4}{6} 約分至最低項。

$$n=\frac{2}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-10±14}{6}。 從 -10 減去 14。

$$n=-\frac{24}{6}$$

-24 除以 6。

$$n=-4$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3n^{2}+10n=8$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

將 \frac{10}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{3}。接著，將 \frac{5}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

將 \frac{8}{3} 與 \frac{25}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

因數分解 n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

化簡。

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$