解決3m^2+4m+1=5/9 |Microsoft數學求解器

$$3 m ^ { 2 } + 4 m + 1 = \frac { 5 } { 9 }$$

解 m

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -0.122335613$$

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -1.210997721$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{9}。

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=\frac{5}{9}-\frac{5}{9}$$

從 \frac{5}{9} 減去本身會剩下 0。

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=0$$

從 1 減去 \frac{5}{9}。

$$3m^{2}+4m+\frac{4}{9}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 4 代入 b，以及將 \frac{4}{9} 代入 c。

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

對 4 平方。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-12\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

-12 乘上 \frac{4}{9}。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-\frac{16}{3}}}{2\times 3}$$

將 16 加到 -\frac{16}{3}。

$$m=\frac{-4±\sqrt{\frac{32}{3}}}{2\times 3}$$

取 \frac{32}{3} 的平方根。

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}。 將 -4 加到 \frac{4\sqrt{6}}{3}。

$$m=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

-4+\frac{4\sqrt{6}}{3} 除以 6。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}。 從 -4 減去 \frac{4\sqrt{6}}{3}。

$$m=\frac{-\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

-4-\frac{4\sqrt{6}}{3} 除以 6。

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3m^{2}+4m+1-1=\frac{5}{9}-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$3m^{2}+4m=\frac{5}{9}-1$$

從 \frac{5}{9} 減去 1。

$$3m^{2}+4m=-\frac{4}{9}$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3m^{2}+4m}{3}=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

-\frac{4}{9} 除以 3。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{4}{27}$$

將 \frac{4}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{2}{3}。接著，將 \frac{2}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{27}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}$$

將 -\frac{4}{27} 與 \frac{4}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\frac{8}{27}$$

因數分解 m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{27}}$$

化簡。

$$m+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9} m+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{3}。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$