解決3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1 |Microsoft數學求解器

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

解 k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0.223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0.223606798$$

使用二次方程式公式的步驟

對方程式兩邊同時乘上 4k^{2}+1。

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

若要將 \frac{-16k}{4k^{2}+1} 乘冪，將分子和分母同時自乘該乘冪的次數然後再相除。

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

運算式 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 為最簡分數。

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

運算式 \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) 為最簡分數。

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

展開 \left(-16k\right)^{2}。

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

計算 -16 的 2 乘冪，然後得到 256。

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

將 3 乘上 256 得到 768。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4k^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。2 乘 2 得到 4。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

從兩邊減去 32。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

計算 768k^{2} 乘上 4k^{2}+1 時使用乘法分配律。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

因數分解 16k^{4}+8k^{2}+1。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 32 乘上 \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

因為 \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 和 \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

計算 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2} 的乘法。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

合併 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32 中的同類項。

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

對方程式兩邊同時乘上 \left(4k^{2}+1\right)^{2}。

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

以 t 代入 k^{2}。

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 2560 取代 a、以 512 取代 b 並以 -32 取 c。

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

計算。

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 t=\frac{-512±768}{5120}。

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

因為 k=t^{2}，在 t 為正數時，可以計算 k=±\sqrt{t} 得到解。

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$