Solve 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

解 z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

使用依分組因數分解的步驟

將兩邊同時除以 3。

$$z^{2}+3z+2=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 z^{2}+az+bz+2。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 唯一的此類組合為系統解。

$$a=1 b=2$$

將 z^{2}+3z+2 重寫為 \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)。

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

對第一個與第二個群組中的 2 進行 z 因式分解。

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 z+1。

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 z+1=0 和 z+2=0。

$$z=-1 z=-2$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3z^{2}+9z+6=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 9 代入 b，以及將 6 代入 c。

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

對 9 平方。

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

-12 乘上 6。

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

將 81 加到 -72。

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

取 9 的平方根。

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 z=\frac{-9±3}{6}。 將 -9 加到 3。

$$z=-\frac{6}{6}$$

-6 除以 6。

$$z=-1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 z=\frac{-9±3}{6}。 從 -9 減去 3。

$$z=-\frac{12}{6}$$

-12 除以 6。

$$z=-2$$

現已成功解出方程式。

$$z=-1 z=-2$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3z^{2}+9z+6=0$$

從方程式兩邊減去 6。

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

從 6 減去本身會剩下 0。

$$3z^{2}+9z=-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

9 除以 3。

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

-6 除以 3。

$$z^{2}+3z=-2$$

將 3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{2}。接著，將 \frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

將 -2 加到 \frac{9}{4}。

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

因數分解 z^{2}+3z+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化簡。

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$z=-1 z=-2$$