Solve 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

因式分解

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

解題步驟

若要對運算式進行因數分解，當運算式等於 0 時，即可解出方程式。

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -40，而 q 除以前置係數 3。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-2$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 除以 x+2 以得到 3x^{3}-5x^{2}+12x-20。 若要對結果進行因式分解，當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -20，而 q 除以前置係數 3。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=\frac{5}{3}$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 除以 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 以得到 x^{2}+4。 若要對結果進行因式分解，當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$x^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 1 取代 a、以 0 取代 b 並以 4 取 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

計算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

因為多項式 x^{2}+4 沒有任何有理根，所以無法進行因數分解。

$$x^{2}+4$$

使用取得的根，重寫因數分解過後的運算式。

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

評估

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$