解決3x^2-5x-372=0 |Microsoft數學求解器

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

解 x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-372。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -1116 的所有此類整數組合。

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

計算每個組合的總和。

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

該解為總和為 -5 的組合。

$$a=-36 b=31$$

將 3x^{2}-5x-372 重寫為 \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)。

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

對第一個與第二個群組中的 31 進行 3x 因式分解。

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-12。

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-12=0 和 3x+31=0。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-5x-372=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 -372 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -372。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

將 25 加到 4464。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

取 4489 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{5±67}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±67}{6}。 將 5 加到 67。

$$x=\frac{72}{6}$$

72 除以 6。

$$x=12$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±67}{6}。 從 5 減去 67。

$$x=-\frac{62}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-62}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{31}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-5x-372=0$$

將 372 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

從 -372 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

從 0 減去 -372。

$$3x^{2}-5x=372$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

372 除以 3。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

將 -\frac{5}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{6}。接著，將 -\frac{5}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

將 124 加到 \frac{25}{36}。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

將 \frac{5}{6} 加到方程式的兩邊。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$