解決3x^2-5x-250=0 |Microsoft數學求解器

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

解 x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-250。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -750 的所有此類整數組合。

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

計算每個組合的總和。

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

該解的總和為 -5。

$$a=-30 b=25$$

將 3x^{2}-5x-250 重寫為 \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)。

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 25。

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-10。

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-10=0 並 3x+25=0。

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-5x-250=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 -250 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -250。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

將 25 加到 3000。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

取 3025 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{5±55}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±55}{6}。 將 5 加到 55。

$$x=\frac{60}{6}$$

60 除以 6。

$$x=10$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±55}{6}。 從 5 減去 55。

$$x=-\frac{50}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-50}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{25}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-5x-250=0$$

將 250 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

從 -250 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

從 0 減去 -250。

$$3x^{2}-5x=250$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

將 -\frac{5}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{6}。接著，將 -\frac{5}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

將 \frac{250}{3} 與 \frac{25}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

將 \frac{5}{6} 加到方程式的兩邊。

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$