解決3x^2-31x-60=0 |Microsoft數學求解器

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

解 x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-60。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

該解的總和為 -31。

$$a=-36 b=5$$

將 3x^{2}-31x-60 重寫為 \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)。

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 5。

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-12。

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-12=0 並 3x+5=0。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -31 代入 b，以及將 -60 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

對 -31 平方。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -60。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

將 961 加到 720。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 的相反數是 31。

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{31±41}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{31±41}{6}。 將 31 加到 41。

$$x=\frac{72}{6}$$

72 除以 6。

$$x=12$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{31±41}{6}。 從 31 減去 41。

$$x=-\frac{10}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

從 -60 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

從 0 減去 -60。

$$3x^{2}-31x=60$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 除以 3。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

將 -\frac{31}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{31}{6}。接著，將 -\frac{31}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

-\frac{31}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

將 20 加到 \frac{961}{36}。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

因數分解 x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

化簡。

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

將 \frac{31}{6} 加到方程式的兩邊。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$