解決3x^2-2x-9=0 |Microsoft數學求解器

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

解 x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-2x-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -9。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

將 4 加到 108。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

取 112 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}。 將 2 加到 4\sqrt{7}。

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

2+4\sqrt{7} 除以 6。

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}。 從 2 減去 4\sqrt{7}。

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

2-4\sqrt{7} 除以 6。

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-2x-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$3x^{2}-2x=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 除以 3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

將 -\frac{2}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{3}。接著，將 -\frac{1}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

將 3 加到 \frac{1}{9}。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$