解決3x^2+5x=138 |Microsoft數學求解器

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

解 x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 138。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-138。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -414 的所有此類整數組合。

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

計算每個組合的總和。

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

該解為總和為 5 的組合。

$$a=-18 b=23$$

將 3x^{2}+5x-138 重寫為 \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

對第一個與第二個群組中的 23 進行 3x 因式分解。

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-6=0 和 3x+23=0。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}+5x=138$$

從方程式兩邊減去 138。

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

從 138 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 5 代入 b，以及將 -138 代入 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

對 5 平方。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -138。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

將 25 加到 1656。

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-5±41}{6}。 將 -5 加到 41。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 除以 6。

$$x=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-5±41}{6}。 從 -5 減去 41。

$$x=-\frac{46}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-46}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{23}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}+5x=138$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 除以 3。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

將 \frac{5}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{6}。接著，將 \frac{5}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

將 46 加到 \frac{25}{36}。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

因數分解 x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

化簡。

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{6}。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$