Solve 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

解 x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 256x^{2}+ax+bx+1。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 256 的所有此類整數組合。

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

計算每個組合的總和。

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

該解為總和為 -32 的組合。

$$a=-16 b=-16$$

將 256x^{2}-32x+1 重寫為 \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)。

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 16x 因式分解。

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 16x-1。

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

改寫為二項式平方。

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

若要求方程式的解，請解出 16x-1=0。

$$x=\frac{1}{16}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$256x^{2}-32x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 256 代入 a，將 -32 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

對 -32 平方。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

-4 乘上 256。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

將 1024 加到 -1024。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

-32 的相反數是 32。

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

2 乘上 256。

$$x=\frac{32}{512}$$

透過找出與消去 32，對分式 \frac{32}{512} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{16}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$256x^{2}-32x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$256x^{2}-32x=-1$$

將兩邊同時除以 256。

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

除以 256 可以取消乘以 256 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

透過找出與消去 32，對分式 \frac{-32}{256} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

將 -\frac{1}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{16}。接著，將 -\frac{1}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

-\frac{1}{16} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

將 -\frac{1}{256} 與 \frac{1}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

將 \frac{1}{16} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

現已成功解出方程式。 解法是相同的。

$$x=\frac{1}{16}$$