解決25y^2-54y-63=0 |Microsoft數學求解器

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

解 y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 25y^{2}+ay+by-63。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -1575 的所有此類整數組合。

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

計算每個組合的總和。

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

該解為總和為 -54 的組合。

$$a=-75 b=21$$

將 25y^{2}-54y-63 重寫為 \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)。

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

對第一個與第二個群組中的 21 進行 25y 因式分解。

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 y-3。

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 y-3=0 和 25y+21=0。

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$25y^{2}-54y-63=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 25 代入 a，將 -54 代入 b，以及將 -63 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

對 -54 平方。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4 乘上 25。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100 乘上 -63。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

將 2916 加到 6300。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

取 9216 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 的相反數是 54。

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2 乘上 25。

$$y=\frac{54±96}{50}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{54±96}{50}。 將 54 加到 96。

$$y=\frac{150}{50}$$

150 除以 50。

$$y=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{54±96}{50}。 從 54 減去 96。

$$y=-\frac{42}{50}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-42}{50} 約分至最低項。

$$y=-\frac{21}{25}$$

現已成功解出方程式。

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$25y^{2}-54y-63=0$$

將 63 加到方程式的兩邊。

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

從 -63 減去本身會剩下 0。

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

從 0 減去 -63。

$$25y^{2}-54y=63$$

將兩邊同時除以 25。

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

除以 25 可以取消乘以 25 造成的效果。

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

將 -\frac{54}{25} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{27}{25}。接著，將 -\frac{27}{25} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

-\frac{27}{25} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

將 \frac{63}{25} 與 \frac{729}{625} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

因數分解 y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

化簡。

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

將 \frac{27}{25} 加到方程式的兩邊。

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$