Solve 25x^2-8x=12x-4

$$25 { x }^{ 2 } -8x=12x-4$$

解 x

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 12x。

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

合併 -8x 和 -12x 以取得 -20x。

$$25x^{2}-20x=-4$$

新增 4 至兩側。

$$25x^{2}-20x+4=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 25x^{2}+ax+bx+4。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-20 ab=25\times 4=100$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 100 的所有此類整數組合。

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

計算每個組合的總和。

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

該解為總和為 -20 的組合。

$$a=-10 b=-10$$

將 25x^{2}-20x+4 重寫為 \left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right)。

$$\left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -2 進行 5x 因式分解。

$$5x\left(5x-2\right)-2\left(5x-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 5x-2。

$$\left(5x-2\right)\left(5x-2\right)$$

改寫為二項式平方。

$$\left(5x-2\right)^{2}$$

若要求方程式的解，請解出 5x-2=0。

$$x=\frac{2}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 12x。

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

合併 -8x 和 -12x 以取得 -20x。

$$25x^{2}-20x=-4$$

新增 4 至兩側。

$$25x^{2}-20x+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 25 代入 a，將 -20 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

對 -20 平方。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

-4 乘上 25。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 4}}{2\times 25}$$

-100 乘上 4。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 25}$$

將 400 加到 -400。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{-20}{2\times 25}$$

-20 的相反數是 20。

$$x=\frac{20}{2\times 25}$$

2 乘上 25。

$$x=\frac{20}{50}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{20}{50} 約分至最低項。

$$x=\frac{2}{5}$$

配方法的步驟

從兩邊減去 12x。

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

合併 -8x 和 -12x 以取得 -20x。

$$25x^{2}-20x=-4$$

將兩邊同時除以 25。

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{4}{25}$$

除以 25 可以取消乘以 25 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{4}{25}$$

透過找出與消去 5，對分式 \frac{-20}{25} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{4}{25}$$

將 -\frac{4}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{2}{5}。接著，將 -\frac{2}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

-\frac{2}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-4+4}{25}$$

將 -\frac{4}{25} 與 \frac{4}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=0$$

因數分解 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=0$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化簡。

$$x-\frac{2}{5}=0 x-\frac{2}{5}=0$$

將 \frac{2}{5} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{2}{5}$$

現已成功解出方程式。 解法是相同的。

$$x=\frac{2}{5}$$