Solve 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0.316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1.516515139$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$25x^{2}+30x=12$$

從方程式兩邊減去 12。

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

從 12 減去本身會剩下 0。

$$25x^{2}+30x-12=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 25 代入 a，將 30 代入 b，以及將 -12 代入 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

對 30 平方。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

-4 乘上 25。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

-100 乘上 -12。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

將 900 加到 1200。

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

取 2100 的平方根。

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

2 乘上 25。

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}。 將 -30 加到 10\sqrt{21}。

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30+10\sqrt{21} 除以 50。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}。 從 -30 減去 10\sqrt{21}。

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30-10\sqrt{21} 除以 50。

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$25x^{2}+30x=12$$

將兩邊同時除以 25。

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

除以 25 可以取消乘以 25 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

透過找出與消去 5，對分式 \frac{30}{25} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

將 \frac{6}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{5}。接著，將 \frac{3}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

\frac{3}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

將 \frac{12}{25} 與 \frac{9}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

因數分解 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$